Średnia droga swobodna
Model gazu doskonałego jest brdzo wygodnym, ale przybliżonym sposobem opisu rzeczywistych gazów. Teraz spróbujemy omówić niektóre istotne właściwości gazu rzeczywistego. Zwróćmy na przykład uwagę na to, że gdyby cząsteczki były punktowe to nie zderzałyby się w ogóle ze sobą. Tak więc w opisie zderzeń musimy uwzględnić skończone wymiary cząsteczek. Będziemy teraz traktować cząsteczki jako kuleczki o średnicy \( d \). Oznacza to, że zderzenie pomiędzy cząsteczkami będzie miało miejsce gdy odległość między ich środkami będzie mniejsza niż \( d \). Inaczej mówiąc cząsteczka zachowuje się jak tarcza o efektywnej powierzchni
Ta powierzchnia nosi nazwę całkowitego przekroju czynnego.
W czasie \( t \) cząsteczka poruszająca się z prędkością \( v \) przemiata objętość walca równą \( vts \). Jeżeli \( n \) jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości to na swej drodze (w tym walcu) nasza cząstka napotka \( n_{z} \) innych cząsteczek
Tym samym otrzymaliśmy liczbę zderzeń, których doznaje cząsteczka w czasie \( t \). Widać, że zależy ona od rozmiarów cząsteczek i od ich liczby w jednostce objętości. Wprowadzimy teraz pojęcie średniej drogi swobodnej \( {\overline{{\lambda }}} \).
Średnią drogę swobodną definiujemy jako średnią odległość przebywaną przez cząsteczkę pomiędzy kolejnymi zderzeniami.
Średnia droga swobodna jest równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez liczbę zderzeń (zob. Rys. 1).
Równanie ( 3 ) wyprowadziliśmy przy założeniu, że cząstka zderza się z innymi nieruchomymi cząsteczkami. W rzeczywistości cząsteczki uderzają w inne też poruszające się cząsteczki. Rzeczywista częstość zderzeń jest więc większa, a średnia droga swobodna mniejsza
Ta różnica we wzorach wynika z tego, że w poprzednim równaniu ( 3 ) występujące tam dwie prędkości są różne: prędkość w liczniku to prędkość średnia cząsteczek \( {\overline{{v}}} \) względem naczynia, a prędkość w mianowniku to średnia prędkość względna w stosunku do innych cząsteczek. Można się przekonać jakościowo, że te prędkości są różne. Na przykład, gdy cząstki biegną naprzeciw siebie to mają względną prędkość równą \( {2\overline{{v}}} \), gdy pod kątem prostym to równą \( {\overline{{v}}\sqrt{2}} \), a gdy w tę samą stronę to względna prędkość jest równa zeru. Uwzględniając rzeczywisty rozkład prędkości, otrzymujemy \( {v_{{\text{wzgl}\text{.}}}=\overline{{v}}\sqrt{2}} \).
Oszacujmy jaka jest typowa średnia droga swobodna i jak często cząstki zderzają się ze sobą. W tym celu rozpatrzmy cząstki powietrza w temperaturze 300 K (27 °C) i pod ciśnieniem 1 atm. Przyjmijmy średnicę cząsteczek równą \( d = 2·10^{-8} \) cm. W tych warunkach jeden mol powietrza zajmuje około 22.4 dm \( ^{3} \), a ponieważ w molu znajduje się \( N_{Av} = 6.023·10^{23} \) cząsteczek to ich koncentracja wynosi \( n = 2.7·10^{19} \)/cm \( ^{3} \).
Korzystając z równania ( 4 ), otrzymujemy średnią drogę swobodną równą \( {\overline{{\lambda }}}=2.1·10^{-5} \) cm, co stanowi około tysiąca średnic cząsteczkowych ( \( 1000d \)). Częstość zderzeń obliczamy, dzieląc średnią prędkość cząsteczek przez średnią drogę swobodną
Do naszych celów posłużymy się wartością prędkości średniej kwadratowej ( \( v_{\text{śr. kw.}} = 483 \) m/s) obliczonej w ćwiczeniu Ciśnienie gazu doskonałego-Prędkość średnia kwadratowa. Odpowiednia częstość zderzeń wynosi \( f = 2.3·10^{9} \) 1/s. Średnio każda cząstka zderza się w ciągu sekundy ponad 2 miliardy razy! Właśnie dzięki tak dużej liczbie zderzeń ogólny rozkład prędkości nie zmienia się.